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# Guia básico do Filtro de Kalman

O tutorial que será ensinado aqui tem como base essa playlist do youtube: https://www.youtube.com/watch?v=CaCcOwJPytQ&list=PLX2gX-ftPVXU3oUFNATxGXY90AULiqnWT

O filtro funciona da seguinte maneira: 

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Primeiramente faremos uma análise mais simples, depois partiremos para uma análise mais geral, onde haverá cálculos mais complicados.

O *Kalman Gain* é calculado por:

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Ele é calculado dessa forma para representarmos as seguintes características:

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Do *Kalman Gain* tira-se o resultado para as estimativas:

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Temos ainda que calcular o erro na estimativa atual, baseando-se no erro das estimativas anteriores, isto pode ser feito desta forma:

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Então, em toda iteração nesta abordagem mais simples que fizemos, temos que repetir essas 3 equações (lembrando que o erro na medição é considerado constante):

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Neste vídeo é feito um exemplo com todas essas equações vistas até agora: https://www.youtube.com/watch?v=PZrFFg5_Sd0

Agora vamos partir para o modelo de Kalman multi-dimensional, ou seja, onde queremos determinar e prever mais de uma variável. Para uma visão mais geral do modelo, que nem foi feito no começo, observe o seguinte fluxograma do kalman:

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A matrix de estado, que é a X, pode ter a quantidade de atributos que desejarmos (geralmente posição e velocidade), como por exemplo:

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As matrizes A e B vistos na determinação dos futuros estados são mudadas conforme o sistema, por exemplo, se estivermos querendo prever a altura e a velocidade de um objeto em queda livre, poderíamos atribuir os seguinte valores:

A partir disso trabalharíamos com a equação para gerar o próximo estado, que podemos relembrá-la aqui: 

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Daí, é fácil ver que chegamos nas equações que estudamos em física I, do MRUV:

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Um exemplo feito passo-a-passo, com valores reais, pode ser visto aqui: https://www.youtube.com/watch?v=mRf-cL2mjo4&t=15s

Da mesma forma, podemos ver um exemplo aplicado em 2D, perceba que temos que mudar as matrizes A e B, principalmente porque aumentamos o número de variáveis:

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Pode-se ver facilmente a analogia entre este exemplo acima e o anterior. Vemos novamente as equações de posição e velocidade do MRUV. Não irei escrever aqui sobre o exemplo em 3D, mas ele segue os mesmos passos do anterior, fica aqui o link para quem quiser conferir: https://www.youtube.com/watch?v=FFvQtplnnWc

Agora vamos passar para a parte das matrizes de covariância.

Temos essas novas equações que irão definir as matrizes de covariância e o *kalman gain*:

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Uma explicação mais completa do que representa cada variável pode ser vista aqui:

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Aqui está um exemplo de uma matriz de matriz de covariância em 2D, onde cada termo representa a variância (termos da diagonal) ou a covariância (termos das outras células):

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A variância e a covariância são definidas por:

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Um exemplo simples da aplicação destas últimas equações pode ser visto em: [exercicio 1](https://www.youtube.com/watch?v=xPu1m2xfhVc&t=3s), [exercicio 2 - parte 1](https://www.youtube.com/watch?v=zRHzMsV9yEo) e [exercicio 2 - parte 2](https://www.youtube.com/watch?v=LmZAwtQ6XzI&t=3s).

Aqui segue um exemplo de como calcular a matriz de covariância baseada em notas de um aluno: [exemplo](https://www.youtube.com/watch?v=9B5vEVjH2Pk)

Um fato importante sobre a matriz de covariância é que se a estimativa para uma variável, digamos *x*, é completamente independente de outra variável, digamos velocidade *v*, então nenhum ajuste é feito para as estimativas de uma variável em função do erro de outra. Ou seja, teríamos uma matriz de covariância com termos nulos fora da diagonal principal:

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