Projeto

Geral

Perfil

Guia básico do Filtro de Kalman » Histórico » Revisão 2

Revisão 1 (Pablo Amorim, 17/05/2025 17:45 h) → Revisão 2/4 (Pablo Amorim, 17/05/2025 18:59 h)

# Guia básico do Filtro de Kalman 

 O tutorial que será ensinado aqui tem como base essa playlist do youtube: https://www.youtube.com/watch?v=CaCcOwJPytQ&list=PLX2gX-ftPVXU3oUFNATxGXY90AULiqnWT 

 O filtro funciona da seguinte maneira:  

 !clipboard-202505171856-1h1ui.png! 
 ![](diagrama.png) 

 Primeiramente faremos uma análise mais simples, depois partiremos para uma análise mais geral, onde haverá cálculos mais complicados. 

 O *Kalman Gain* é calculado por: 

 !clipboard-202505171857-f6kwq.png! 
 ![](kalman_gain.png) 

 Ele é calculado dessa forma para representarmos as seguintes características: 

 !clipboard-202505171856-dogzk.png! 
 ![](fig1.png) 

 Do *Kalman Gain* tira-se o resultado para as estimativas: 

 !clipboard-202505171856-rsu1u.png! 
 ![](eq1.png) 

 Temos ainda que calcular o erro na estimativa atual, baseando-se no erro das estimativas anteriores, isto pode ser feito desta forma: 

 !clipboard-202505171856-nhxoy.png! 
 ![](eq2.png) 

 Então, em toda iteração nesta abordagem mais simples que fizemos, temos que repetir essas 3 equações (lembrando que o erro na medição é considerado constante): 

 !clipboard-202505171856-pit9i.png! 
 ![](iteracao.png) 

 Neste vídeo é feito um exemplo com todas essas equações vistas até agora: https://www.youtube.com/watch?v=PZrFFg5_Sd0 

 Agora vamos partir para o modelo de Kalman multi-dimensional, ou seja, onde queremos determinar e prever mais de uma variável. Para uma visão mais geral do modelo, que nem foi feito no começo, observe o seguinte fluxograma do kalman: 

 !clipboard-202505171858-dhnn3.png! 
 ![](picture489-1.png) 

 A matrix de estado, que é a X, pode ter a quantidade de atributos que desejarmos (geralmente posição e velocidade), como por exemplo: 

 !clipboard-202505171857-amjx7.png! 
 ![](picture489-2.png) 

 As matrizes A e B vistos na determinação dos futuros estados são mudadas conforme o sistema, por exemplo, se estivermos querendo prever a altura e a velocidade de um objeto em queda livre, poderíamos atribuir os seguinte valores: 


 

 ![](new.png) 

 A partir disso trabalharíamos com a equação para gerar o próximo estado, que podemos relembrá-la aqui:  

 !clipboard-202505171858-evpnh.png! 
 ![](picture489-4.png) 

 Daí, é fácil ver que chegamos nas equações que estudamos em física I, do MRUV: 

 !clipboard-202505171858-swyin.png! 
 ![](picture489-5.png) 

 Um exemplo feito passo-a-passo, com valores reais, pode ser visto aqui: https://www.youtube.com/watch?v=mRf-cL2mjo4&t=15s 

 Da mesma forma, podemos ver um exemplo aplicado em 2D, perceba que temos que mudar as matrizes A e B, principalmente porque aumentamos o número de variáveis: 

 ![](picture489-7.png) 

 Pode-se ver facilmente a analogia entre este exemplo acima e o anterior. Vemos novamente as equações de posição e velocidade do MRUV. Não irei escrever aqui sobre o exemplo em 3D, mas ele segue os mesmos passos do anterior, fica aqui o link para quem quiser conferir: https://www.youtube.com/watch?v=FFvQtplnnWc 

 Agora vamos passar para a parte das matrizes de covariância. 

 Temos essas novas equações que irão definir as matrizes de covariância e o *kalman gain*: 

 ![](picture30-1.png) 

 Uma explicação mais completa do que representa cada variável pode ser vista aqui: 

 ![](picture30-2.png) 

 Aqui está um exemplo de uma matriz de matriz de covariância em 2D, onde cada termo representa a variância (termos da diagonal) ou a covariância (termos das outras células): 

 ![](picture30-3.png) 

 A variância e a covariância são definidas por: 

 ![](picture30-4.png) 

 Um exemplo simples da aplicação destas últimas equações pode ser visto em: [exercicio 1](https://www.youtube.com/watch?v=xPu1m2xfhVc&t=3s), [exercicio 2 - parte 1](https://www.youtube.com/watch?v=zRHzMsV9yEo) e [exercicio 2 - parte 2](https://www.youtube.com/watch?v=LmZAwtQ6XzI&t=3s). 

 Aqui segue um exemplo de como calcular a matriz de covariância baseada em notas de um aluno: [exemplo](https://www.youtube.com/watch?v=9B5vEVjH2Pk) 

 Um fato importante sobre a matriz de covariância é que se a estimativa para uma variável, digamos *x*, é completamente independente de outra variável, digamos velocidade *v*, então nenhum ajuste é feito para as estimativas de uma variável em função do erro de outra. Ou seja, teríamos uma matriz de covariância com termos nulos fora da diagonal principal: 

 ![](picture30-5.png)